Analysis III WS 22/23

Zeiten:

Vorlesungen

MO 12.00-14.00, ENC-D 201

DI 10.00-12.00, ENC- D 224

Übungen

MO 14.00-16-00, ENC- D 224 ( Wegen Corona per Videokonferenz via ZOOM)

Vorlesungsbeginn:

Montag 10.10.2023

Zum Inhalt:

Nach dem in Analysis I/II die Analysis in einer Dimension und in Analysis II die Differentialrechnung in mehreren Dimensionen behandelt wurde, ist das Hauptthema der Analysis III die Integration in mehreren Dimensionen und die Erweiterung des Riemannschen Integralkonzeptes.

Die Hauptthemen dieser Analysis-III-Vorlesung sind:

  1. Wie berechnet man das Volumen von Mengen im n-dimensionalen euklidschen Raum? Hier muss man sich zunächst fragen, was »Volumen« überhaupt bedeutet. Wir werden sogar sehen, dass man für beliebige Mengen gar nicht von einem Volumen in konsistenter Weise sprechen kann! Daher ist Sorgfalt geboten.
  2. Wie integriert man Funktionen in mehreren Veränderlichen ? Auch hier müssen wir uns die Frage stellen, welche Funktionen überhaupt integrierbar sind. In Analysis II haben wir gesehen, wie man z.B. stetige Funktionen (allgemeiner Regelfunktionen) integriert. Diese sind für viele Zwecke zu speziell. Wir werden viel allgemeinere Funktionen, sogenannte Lebesgue-integrierbare Funktionen, integrieren können. Das Lebesgue-Integral ist für die moderne Analysis (Funktionalanalysis, Differentialgleichungen, Stochastik,…) unverzichtbar!
  3. Welche Veränderungen einer integrierbaren Funktion auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereiches lässt sie integrierbar bleiben und ändert ihr Integral nicht? Wie „groß“ darf eine solche „Änderungsmenge“ höchstens sein? Dies führt zum Begriff der Lebesgueschen Nullmenge .
  4. Die Lebesgueschen Integrationstheorie
  5. Anwendungen der Lebesgueschen Integrationstheorie