Analysis III WS 17/18

Zur Fachprüfung:

Fuer die, die die Klausur nicht bestanden haben besteht die Möglichkeit durch eine mündliche Prüfung am 15,03.2018, ab 9.30 die Zulassung zu erreichen. Wer davon gebrauch machen will sollte sich in den nächten Tagen per e-mail bei mir melden.

Die Klausureinsicht ist MI 07.02.18, 10.30 Uhr

Willkommen zur Analysis III!

Zeiten:

Di, Do 08.00-10.00, ENC-D 201, Beginn: Dienstag 10.10.2017

Zu Inhalt:

Nachdem wir uns in Analysis I/II mit der Analysis in einer Dimension und in Analysis II mit der Differentialrechnung in mehreren Dimensionen befasst haben, ist das Thema der Analysis III die Integration in mehreren Dimensionen und die Erweiterung des Riemannschen Integralkonzeptes. Die Hauptthemen dieser Analysis-III-Vorlesung sind:

  1. Wie berechnet man das Volumen von Mengen im n-dimensionalen euklidschen Raum? Hier muss man sich zunächst fragen, was »Volumen« überhaupt bedeutet. Wir werden sogar sehen, dass man für beliebige Mengen gar nicht von einem Volumen in konsistenter Weise sprechen kann! Daher ist Sorgfalt geboten.1
  2. Wie integriert man Funktionen in mehreren Veränderlichen ? Auch hier müssen wir uns die Frage stellen, welche Funktionen überhaupt integrierbar sind. In Analysis II haben wir gesehen, wie man z.B. stetige Funktionen (allgemeiner Regelfunktionen) integriert. Diese sind für viele Zwecke zu speziell. Wir werden viel allgemeinere Funktionen, sogenannte Lebesgue-integrierbare Funktionen, integrieren können. Das Lebesgue-Integral ist für die moderne Analysis (Funktionalanalysis, Differentialgleichungen, Stochastik,…) unverzichtbar!
  1. Welche Veränderungen einer integrierbaren Funktion auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereiches lässt sie integrierbar bleiben und ändert ihr Integral nicht? Wie „groß“ darf eine solche „Änderungsmenge“ höchstens sein? Dies führt zum Begriff der Lebesgueschen Nullmenge .
  1. Wie berechnet man Längen von Kurven oder den Flächeninhalt einer Oberfläche? Hierzu müssen zunächst „Oberflächen“ eingeführt werden. Dies führt zum Begriff der Untermannigfaltigkeit des n-dimensionalen euklidschen Raumes . Allgemeiner werden wir untersuchen, wie man eine Funktion über eine Untermannigfaltigkeit integriert.
  2. Gibt es höherdimensionale Verallgemeinerungen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung? Dies führt auf die diese sogenannten Integralsätze von Stokes, Green, Gauss. Bei der Suche nach diesen sogenannten Integralsätzen werden wir auf natürliche Weise die Notwendigkeit erkennen, nicht nur Funktionen, sondern auch andere Objekte Vektorfelder und Differentialformen)zu integrieren.

Mind map: mind-map-themaueberblickanaiii

Advertisements